Людвиг Больцман: Именные достижения

Закон излучения Стефана-Больцмана

Согласно закону Стефана – Больцмана плотность интегрального полусферического излучения E₀ зависит только от температуры и изменяется пропорционально четвертой степени абсолютной температуры T:

Постоянная Стефана-Больцмана

Стефана – Больцмана постоянная σ₀ – физическая постоянная, входящая в закон, определяющий объемную плотность равновесного теплового излучения абсолютно черного тела:

Исторически закон Стефана-Больцмана был сформулирован раньше закона излучения Планка, из которого он вытекает как следствие. Закон Планка устанавливает зависимость спектральной плотности потока излучения E₀ от длины волны λ и температуры T:

где λ – длина волны, м; с=2,998 10⁸ м/с – скорость света в вакууме; Т – температура тела, К;
h = 6,625 ×10^-34 Дж×с– постоянная Планка.

Постоянная Больцмана

Физическая постоянная k, равная отношению универсальной газовой постоянной R=8314Дж/(кг×K) к числу Авогадро NA=6,022×10²⁶1/(кг×моль):

Статистика Больцмана

Число различных конфигураций системы из N частиц для данного набора чисел n_i (число частиц, находящихся в i-том состоянии, которому соответствует энергия e_i) пропорционально величине:

Величина W есть число способов распределения N частиц по энергетическим уровням. Если справедливо соотношение (6) то считается, что исходная система подчиняется статистике Больцмана. Набор чисел n_i, при котором число W максимально, встречается наиболее часто и соответствует наиболее вероятному распределению.

Физическая кинетика – микроскопическая теория процессов в статистически неравновесных системах.

Описание большого числа частиц может успешно осуществляться вероятностными методами. Для одноатомного газа состояние совокупности молекул определяется их координатами и значениями проекций скоростей на соответствующие координатные оси. Математически это описывается функцией распределения, характеризующей вероятность пребывания частицы в данном состоянии:

есть ожидаемое число молекул в объеме dd, координаты которых находятся в интервале от до +d, а скорости в интервале от  до +d.

Газ Больцмана

Если осредненной по времени потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией, то газ называется идеальным. Идеальный газ называется газом Больцмана, если отношение длины пробега молекул в этом газе к характерному размеру течения L конечно, т.е.

т.к. длина пробега обратно пропорциональна nd²(n – числовая плотность 1/м³, d – диаметр молекулы, м).

H-функция Больцмана

Величину

называют H-функцией Больцмана для единицы объема, которая связана с вероятностью обнаружения системы из молекул газа в данном состоянии. Каждому состоянию соответствуют определенные числа заполнения шестимерных пространственно-скоростных ячеек, на которые может быть разбито фазовое пространство рассматриваемых молекул. Обозначим W вероятность того, что в первой ячейке рассматриваемого пространства окажется N₁ молекул, во второй N₂ и т.д.

С точностью до постоянной, определяющей начало отсчета вероятности, правомерно соотношение:

,

где  – H-функция области пространства А, занятой газом. Из (9) видно, что W и H взаимосвязаны, т.е. изменение вероятности состояния приводит к соответствующей эволюции H функции.

H-теорема Больцмана

Принцип Больцмана

Больцмана принцип устанавливает связь между энтропией S физической системы и термодинамической вероятностью W её состояния:

Кинетическое уравнение Больцмана

(печатается по изданию: Коган М.Н. Динамика разреженного газа. – М.: Наука, 1967.)

Общий вид КУБ:

где – массовая сила, обусловленная наличием различных полей (гравитационного, электрического, магнитного), действующая на молекулу; J – интеграл столкновений. Именно этот член уравнения Больцмана учитывает столкновения молекул друг с другом и соответствующие изменения скоростей взаимодействующих частиц. Интеграл столкновений представляет собой пятимерный интеграл и имеет следующую структуру:

Уравнение (12) с интегралом (13) получено для столкновения молекул, при которых не возникает тангенциальных сил, т.е. сталкивающиеся частицы считаются идеально гладкими.

В процессе взаимодействия внутренняя энергия молекул не меняется, т.е. предполагается, что эти молекулы являются идеально упругими. Рассматриваются две группы молекул, имеющих до соударения друг с другом (столкновения) скорости  и  (рис. 1), а после столкновения соответственно скорости  и . Разность скоростей  и  называется относительной скоростью, т.е. . Ясно, что для гладкого упругого столкновения . Функции распределения f₁', f', f₁ ,f описывают молекулы соответствующих групп после и до столкновений, т.е. ; ; ; .

Рис. 1. Столкновение двух молекул.

В (13) входят два параметра, характеризующие расположение сталкивающихся молекул друг относительно друга: b и ε; b – прицельное расстояние, т.е. наименьшее расстояние, на которое сблизились бы молекулы при отсутствии взаимодействия (рис. 2); ε называют угловым параметром столкновений (рис. 3). Интегрирование по b от 0 до ¥ и по от 0 до 2p (два внешних интеграла в (12)) охватывает всю плоскость силового взаимодействия перпендикулярно вектору

Рис. 2. Траектория движения молекул.

Рис. 3. Рассмотрение взаимодействия молекул в цилиндрической системе координат: z, b, ε

Кинетическое уравнение Больцмана выведено при следующих допущениях и предположениях.

1. Считается, что происходит в основном столкновения двух молекул, т.е. роль столкновений одновременно трех и большего числа молекул незначительна. Это допущение позволяет использовать для анализа одночастичную функцию распределения, которая выше названа просто функцией распределения. Учет столкновения трех молекул приводит к необходимости использования в исследовании двухчастичной функции распределения. Соответственно анализ существенно усложняется.

2. Предположение о молекулярном хаосе. Оно выражается в том, что вероятности обнаружения частицы 1 в фазовой точке  и частицы 2 в фазовой точке  независимы друг от друга.

3. Равновероятны столкновения молекул с любым прицельным расстоянием, т.е. функция распределения не меняется на диаметре взаимодействия. Необходимо отметить, что анализируемый элемент  должен быть малым, чтобы f в пределах этого элемента не менялась, но в то же время чтобы не была велика относительная флуктуация ~. Потенциалы взаимодействия, используемые при вычислении интеграла столкновений, являются сферически симметричными, т.е. .

Распределение Максвелла-Больцмана

Равновесное состояние газа описывается абсолютным Максвелловским распределением, которое является точным решением кинетического уравнения Больцмана:

где m – масса молекулы, кг.

Общее локально-максвелловское распределение иначе называемое распределение Максвелла-Больцмана:

в том случае, когда газ движется как целое со скоростью  и переменные n, T зависят от координаты  
и времени t.

Формула Больцмана барометрическая

В поле тяготения Земли точное решение уравнения Больцмана показывает:

где n₀= плотность у поверхности Земли, 1/м³; g – ускорение силы тяжести, м/с²; h – высота, м. Формула (16) является точным решением кинетического уравнения Больцман либо в безграничном пространстве, либо при наличии границ, не нарушающих этого распределения, при этом температура также должна оставаться постоянной.

Эта страница оформлена Пузиной Ю.Ю. при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований – проект №08-08-00638.

Следующая страница: Философия молекулярно-кинетического подхода