Течение Не-II в горизонтальном капилляре при наличии продольного теплового потока и вихревом режиме сверхтекучего движения *

П.В. Королев

Московский энергетический институт

1. ВВЕДЕНИЕ

Работа посвящена разработке моделей стационарного движения объема Не-II в капилляре при турбулентном (вихревом) режиме течения сверхтекучего компонента, формулировке соответствующего математического описания и расчетным исследованиям данного процесса. В инженерной практике корректное описание теплопереноса при течении He-II необходимо для прогнозирования нежелательного осушения каналов теплообменных аппаратов. Полученные результаты могут быть использованы в процессе разработки методик определения условий, при которых исключена возможность осушения микроканалов криогенных систем охлаждения, что, в свою очередь, позволит обеспечить устойчивое функционирование различных устройств, охлаждаемых сверхтекучим гелием.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается стационарное движение объема гелия II в круглом цилиндрическом капилляре диаметром d (см. рис. 1.). Объем He-II имеет известную длину l. В гелии II каким-либо образом генерируется тепловой поток, распространяющийся вдоль оси канала. Например, тепловой поток может подводиться к одной из межфазных поверхностей или возникать вследствие разности температур, созданной между концами канала. Задача решается для ситуаций, в которых эффектами термодинамической неравновесности на границах раздела фаз можно пренебречь (квазиравновесное приближение). Это означает, что температуры пара в полостях принимаются равными температурам межфазных поверхностей, а давления пара – давлениям соответствующим этим температурам по линии насыщения. Известная плотность теплового потока обозначена как q. Боковая поверхность канала адиабатически изолирована, т.е. поток теплоты через стенку канала считается нулевым. Плотность теплового потока в He-II такова, что реализуется вихревой режим течения сверхтекучего компонента.

Принимается, что режим течения нормального компонента может быть как ламинарным, так и турбулентным.

Форма межфазных поверхностей не имеет значения в том случае, если капиллярные силы пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкого трения, несмотря на то, что границы раздела фаз имеют разную кривизну. Например, при ламинарном режиме течения нормального компонента движении такая ситуация имеет место, если выполняется условие:

,

где – средняя по сечению скорость течения нормального компонента He-II. Форма межфазных поверхностей в этом случае может быть любой, например, такой, какая показана на рисунке 1.

Капиллярными силами можно пренебречь и в том случае, если в заполненных паром участках на стенках канала существует не испаряющаяся под действием теплового потока пленка Не-II микроскопической или макроскопической толщины, и, вследствие этого, кривизна межфазных поверхностей приблизительно одинакова, так что капиллярные силы, действующие на мениски, почти полностью взаимно компенсируются.

Принимается, что теплофизические свойства Не-II не зависят от температуры. Предполагается, что инерционными силами можно пренебречь, и в любой момент времени жидкость движется стационарно со скоростью, соответствующей давлениям на границах раздела фаз, и текущей длине перемычки l. Требуется определить скорости движения нормального компонента и всей жидкости в целом.

Рис. 1. Постановка задачи

3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Согласно двухскоростной гидродинамике Л.Д. Ландау Не-II можно представить состоящим из двух компонентов: нормального, имеющего плотность и скорость и сверхтекучего с плотностью и скоростью . Нормальный компонент наделен теми же свойствами, что и обычная жидкость, т.е. обладает вязкостью и переносит энтропию. Сверхтекучий компонент вязкостью не обладает и энтропию не переносит. При небольших температурных перепадах по гелию II можно принять допущение о том, что плотности и энтропия S являются практически постоянными величинами. В этом случае, пренебрегая диссипацией и диффузионным механизмом теплопередачи в Не-II можно ограничиться записью уравнений нормального и сверхтекучего движения. Используя полуэмпирическую теорию взаимного трения Гортера-Меллинка, эти уравнения можно обобщить для случая вихревого сверхтекучего движения, когда существуют силы взаимного трения между нормальным и сверхтекучим компонентами [1]:

В этих формулах – сила взаимного трения в расчете на единицу объема, A(T)– эмпирическая величина, называемая параметром Гортера-Меллинка, зависящая от температуры.

Умножив обе части уравнения (3) на , а затем сложив левые и правые части уравнений (2) и (3) соответственно, поделив полученный результат на ρ'S, и имея в виду тот факт, что плотность теплового потока в Не-II определяется соотношением [2]:

,

получаем для случая стационарного течения He-II уравнение следующего вида

,

где – функция Гортера-Меллинка.

Умножив обе части уравнения (2) на , перенеся второй и третий члены правой части налево, и учитывая соотношение (4) для случая стационарного течения Не-II, когда , приходим к выражению для градиента давления при вихревом сверхтекучем движении:

.

Поскольку, капиллярными силами пренебрегается, то, очевидно, что перепад давления в He-II равен разности давлений насыщения при температурах «теплой» и «холодной» межфазных поверхностей:
P_s(T_i0) – P_s(T_i) (см. рис. 1.). Так как рассматриваются ситуации, когда температурные перепады в Не-II относительно малы, градиент давления и градиент температуры могут быть связаны соотношением Клапейрона-Клаузиуса. Приравнивая , выраженный из этого соотношения, градиенту давления из (6) получаем зависимость от плотности теплового потока:

.

Подставив из соотношения (7) в уравнение (5) и проведя несложные преобразования, приходим к уравнению, отражающему взаимосвязь скорости нормального движения и плотности теплового потока. С учетом равенства нулю всех проекций вектора скорости V_n кроме осевой, несжимаемости нормального компонента, и осевой симметрии профиля скорости относительно оси канала, в цилиндрических координатах это уравнение запишется в виде:

.

Далее проинтегрируем левую и правую части уравнения (8) по площади поперечного сечения канала. Результат интегрирования левой части уравнения следующий:

.

Величина представляет собой напряжение вязкого трения нормального компонента на стенке канала, которое можно выразить через среднюю по сечению канала скорость нормального движения [2]:

.

Далее τ из (10) подставляется в (9), и результат интегрирования обеих частей уравнения (8) делится на площадь поперечного сечения канала. Как было отмечено ранее, свойства сверхтекучего гелия считаются постоянными. Поскольку температура Не-II по радиусу канала, очевидно, изменяется очень незначительно, то при интегрировании функцию f_GM(T) также считаем постоянной величиной. Принимая допущение о том, что осредненная по площади поперечного сечения канала величина куба плотности теплового потока приблизительно равна кубу средней плотности потока , получаем:

.

В этом уравнении равна среднему интегральному значению функции f_GM(T) в интервале температур от Т_i до Т_i0.

Динамический коэффициент вязкого трения ε при ламинарном нормальном движении определяется также как и для обычной жидкости по формуле [2]:

,

а при турбулентном нормальном движении в диапазоне чисел Рейнольдса от 2·10³ до 10⁴ [2] – по формуле

.

В формулах (1.2) и (13) число Рейнольдса записывается следующим образом [2]:

.

При ламинарном течении нормального компонента из уравнения (11) с учетом соотношений (12) и (14) получаем следующую формулу для средней скорости нормального движения:

Плотность теплового потока в Не-II может быть выражена формулой, приведенной в [3]:

.

Принимая во внимание выражение (16) получаем формулу для средней скорости течения Не-II в канале при ламинарном нормальном движении и вихревом сверхтекучем движении:

.

Легко видеть, что значение скорости может быть как положительным, так и отрицательным, следовательно, направление движения объема гелия II в канале должно зависеть от температуры Не-II, диаметра канала d и плотности теплового потока . Изменение направления движения происходит при следующем значении произведения :

,

где – «критическое» значение при ламинарном нормальном движении. Видно, что эта величина зависит только от средней температуры сверхтекучего гелия в канале. При > объем Не-II должен двигаться от источника теплоты, а при < – к источнику.

Аналогичные преобразования для турбулентного режима течения нормального компонента приводят к следующим результатам:

4. РЕЗУЛЬТАТЫ: ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Формулы для определения критического значения выведены в предположении, что сверхтекучее движение является вихревым, а нормальное – ламинарным или турбулентным при Re < 10⁴. Поэтому необходимо определить в каких диапазонах температур Не-II, тепловых нагрузок и диаметров каналов реализуются указанные режимы течения нормального и сверхтекучего компонентов. Поскольку формулы (18) и (20) представляют собой зависимости величины от температуры, удобно представить искомые области режимов течения в координатах – Т.

Нормальное движение перестает быть ламинарным, когда его скорость становится больше критической скорости . Согласно [1] для Не-II критическое число Рейнольдса, при котором начинается переход от ламинарного режима нормального движения к турбулентному, равно 1200, следовательно, формула для имеет вид:

.

Формулы (18) и (20) выведены для определения значений , при которых скорость течения Не-II равна нулю, поэтому критическую плотность теплового потока следует получить именно для случая, когда . Так как определяется соотношением (16), то при получаем

.

Таким образом, формула (18) справедлива при

.

Соотношение (13) справедливо в диапазоне чисел Рейнольдса от 2·10³ до 10⁴. Нижняя граница этого диапазона соответствует началу развитого турбулентного режима течения нормального компонента. Очевидно, что формула (20) применима, если

.

На рис. 2. показана карта режимов течения нормального компонента Не-II, построенная с помощью соотношений (23) и (24). Пространство в координатах делится на четыре области: A – область ламинарного режима течения; B – область переходного режима; C – область турбулентного режима при Re<10⁴ ; D – область турбулентного режима при Re>10⁴ .

Рис. 2. Области различных режимов нормального движения

Скорость , при которой возникают вихри, формирующие, в конце концов, клубки сверхтекучей турбулентности, может быть определена по эмпирической зависимости [1]:

.

Формула записана в системе СИ, число 0.0316 имеет размерность м^5/4·с^–1. В неподвижном Не-II реализуется противоток компонентов, поэтому

.

Из (25), (26) и (16) при V' = 0 следует, что сверхтекучее движение является вихревым при

.

В отличие от границ различных режимов течения нормального компонента, для сверхтекучего компонента на диаграмме при каждом значении диаметра канала d существует своя граница между областями безвихревого и вихревого течения. На рис. 3. показаны положения этой границы для капилляров диаметром 30, 50, 100, 250 и 500 мкм. Также показаны границы режимов течения нормального компонента и зависимости (18), (20).

Рис. 3. Области различных режимов течения нормального и сверхтекучего компонентов.
Линии раздела зон прямого и обращенного движения Не-II: 1 – по формуле (18), 2 – по формуле (20).

Линии 1 и 2 разделяют область вихревого сверхтекучего движения на две части: ниже этих линий должно реализоваться движение сверхтекучего гелия к источнику теплоты, выше – гелий будет двигаться в направлении распространения теплового потока. Границы областей A, B, C и D получены для случая, когда , что возможно только при = т.е., на линиях 1 и 2. Поскольку при движении Не-II границы областей A, B, C и D несколько сместятся (вверх или вниз, в зависимости от направления движения), то линии 1 и 2 проведены не только в областях А и С, но и продолжены в области В и D.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные расчетные исследования стационарного движения объема сверхтекучего гелия в горизонтальном цилиндрическом капилляре при наличии продольного теплового потока показывают, что неидеальный термомеханический эффект (течение He-II к источнику теплоты при незаторможенном нормальном компоненте) возможен и в случае вихревого сверхтекучего движения. При этом режим течения нормального компонента может быть как ламинарным, так и турбулентным. Определены условия, при которых должно происходить течение He-II к источнику теплоты.

Эта страница оформлена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект №08-08-00638).

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Не-II – сверхтекучий гелий (гелий II);
А – параметр Гортера-Меллинка, м с/кг;
a – радиус капилляра, м;
d – диаметр капилляра, м;
f_GM – функция Гортера-Меллинка, К·м⁵/Вт³;
l – текущая длина жидкой перемычки (объема жидкости), м;
p – давление, Па;
q – плотность теплового потока, Вт/м²;
r – текущий радиус, м;
S – энтропия гелия II, Дж/(кг·К);
T – температура, К;
V – скорость, м/с;
η_n – динамическая вязкость нормального компонента, Па·с;
Λ – удельная теплота парообразования, Дж/кг;
ε – динамический коэффициент вязкого трения;
σ – коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;
ρ – плотность, кг/м³;
τ – напряжение вязкого трения, Па;

Индексы:
’ – относится к параметрам жидкости;
”– относится к параметрам пара;
i – interface относится к «холодной» межфазной поверхности;
i0 – относится к «теплой» межфазной поверхности;
n – normal относится к нормальной компоненте He II;
s – superfluid относится к сверхтекучей компоненте; saturated параметры по линии насыщения;
rev – reverse значения величин при которых происходит обращение течения гелия II.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. S. W. Van Sciver. Helium Cryogenics. New York: Plenum Press. 1986. 423 p. >>

2. Takamatsu K., Fujimoto N., Rao Y.F., Fukuda K. Numerical study flow and heat transfer of superfluid helium in capillary channels // Cryogenics.– 1997.– Vol. 37.– Num. 11.– P. 829–835. >>

3. Королев П.В., Крюков А.П. Движение сверхтекучего гелия в капилляре с паром при наличии продольного теплового потока // Вестник МЭИ. №1. 2002. С. 43 - 46. >>

*   Королев П.В. Течение Не-II в горизонтальном капилляре при наличии продольного теплового потока и вихревом режиме сверхтекучего движения // Труды XVI Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева. В 2-х т. – М.: Издательский дом МЭИ, 2007.– Т.1.– С. 182–185.

Следующая страница: Рост подогреваемой паровой полости в капилляре, заполненном Не-II